• vom 04.07.2014, 17:01 Uhr

Technologie


Logik-Konferenz in Wien

Olympische Zahlenspiele




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  • Beim "Vienna Summer of Logic" treffen sich 2500 Experten und rechnen Computer um die Wette.

Jede Zahl entspricht einer Aussage: Logiker tagen, um sich darüber die Köpfe zu zerbrechen.

Jede Zahl entspricht einer Aussage: Logiker tagen, um sich darüber die Köpfe zu zerbrechen.© TU Wien Jede Zahl entspricht einer Aussage: Logiker tagen, um sich darüber die Köpfe zu zerbrechen.© TU Wien

Wien. (est) "Alle Kreter sind Lügner", sagte Epimenides der Kreter. Wenn dieser Satz des Philosophen wahr ist, ist ein Kreter kein Lügner. Wenn aber nicht alle Kreter lügen, ist der Satz falsch. Ist der Satz also wahr oder falsch? Mit Sätzen, die Aussagen über sich selbst treffen, lassen unauflösliche Widersprüche schaffen, wie das Paradoxon des Epimenides zeigt.

Rund 2500 Teilnehmer haben sich für den am Mittwoch beginnenden "Vienna Summer of Logic" angemeldet, um sich über Rätsel wie dieses den Kopf zu zerbrechen. Der von der Kurt Gödel Society, der Technischen Universität Wien und dem Institute of Science and Technology Austria organisierten Kongress bietet bis zum 24. Juli Fachvorträge, Diskussionen und einen Computer-Wettbewerb.

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Logik (altgriechisch: "denkende Kunst", "Vorgehensweise") ist die Lehre des vernünftigen Schlussfolgerns. Die Struktur von Argumenten wird unabhängig vom Inhalt auf ihre Gültigkeit untersucht. Traditionell ist die Logik ein Teil der Philosophie. Im 20. Jahrhundert wurde sie auch zur Strukturwissenschaft in Mathematik und Informatik, wo sie nach Beweisen für Rechenregeln sucht. Denn selbst mathematische Objekte sind von Perfektion weit entfernt - sie bergen unauflösliche Widersprüche.

In den 1920er Jahren wollte der deutsche Mathematiker David Hilbert nachweisen, dass sein Fach auf eine kleine Anzahl an Grundgesetzen zurückzuführen sei, etwa: "Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger." Aus ihnen sollten sich alle wahren Sätze der Mathematik ableiten lassen. Sein österreichisch-amerikanischer Kollege Kurt Gödel konnte allerdings zeigen, dass sich in jedem mathematischen System zwar wahre Aussagen konstruieren lassen, diese sich aber nicht immer anhand von Grundgesetzen beweisen lassen. Der Hilbertsche Traum von einer in sich geschlossenen, vollständigen, widerspruchsfreien Mathematik, deren Gültigkeit aus sich selbst folgt, war damit ausgeträumt, die Logik aber umso reicher.

"Für alle beliebigen natürlichen Zahlen x und y ist x+y dasselbe wie y+x.": Gödel erkannte, dass selbst Aussagen über Zahlen wie diese als Zahl codiert werden können, man muss nur den Symbolen der Logik geeignete Ziffern zuweisen. So lässt sich jeder mathematischen Aussage eine Zahl zuweisen - die "Gödel-Nummer". Im digitalen Zeitalter ist sie zwar nichts Besonderes: Urlaubsfotos sind genauso als Zahlen auf der Festplatte gespeichert wie die Lieblingsmusik auf einer CD. Gödel kam jedoch ein Jahrzehnt vor dem ersten Computer zu seinen Erkenntnissen: Man kann, wenn man eine passende Codierung festgelegt hat, bestimmte Zahlen als mathematische Aussage oder als mathematischen Beweis lesen.

Turnier der Rechner
Damit lassen sich auch mathematische Sätze konstruieren, die Aussagen über mathematische Sätze treffen - wie etwa "n ist nicht die Gödel-Nummer eines Beweises des Satzes F". (Auch solche Aussagen haben eine Gödel-Nummer.) Auf diese Weise gelang es dem Mathematiker, eine Aussage zu konstruieren die besagt: "Es gibt keine Zahl, die die Gödel-Nummer eines Beweises dieser Aussage ist", oder: Es gibt eine Aussage, die behauptet, nicht beweisbar zu sein. Und wenn diese Aussage wahr ist, dann gibt es innerhalb eines mathematischen Systems eine wahre Aussage, die nicht bewiesen werden kann. Gödels erstes Unvollständigkeitsgesetz lautet: "Jedes logische System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig." Und diese Erkenntnis bereicherte die Logik.

John von Neumann, einer der Väter der Computerwissenschaften, legte Gödels Unvollständigkeitsgesetze auf die Informatik um: Welche Berechnungen können Computer durchführen? Gibt es Computerprogramme, die irgendwann zu rechnen aufhören und ein Ergebnis liefern, und solche, die sich in unendlichen Berechnungen verfangen?

Dass es zu keinem Computerabsturz kommt, hoffen wohl all jene Informatiker, die im Rahmen des "Vienna Summer of Logic" gegeneinander antreten. Die Teams haben Computerprogramme entwickelt, die bei den "Olympischen Spielen der Logik" um die Wette eifern. Möge in diesem Großturnier für automatische Beweise der beste Rechner gewinnen.




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Dokument erstellt am 2014-07-04 17:05:06



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